대각화
대각화
대각화(Diagonalization)
정의
두 square matrix $A,D$에 대해 방정식
$$ D=X^{-1}AX $$
를 만족하는 대각행렬 $D$와 가역행렬 $X$가 존재하면,
행렬 $A$는 대각화 가능 행렬이라고 한다. ($A$는 diagonalizable하다)
또한 이 경우 행렬 $X$는 $A$를 대각화한다고 한다.($X$ diagonalizes $A$)
모든 square matrix가 대각화가 가능한 것은 아니며,
행렬 $X$와 $D$가 unique한 것은 아니다.
예제) $A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}$
$X^{-1}=\begin{bmatrix}3&-2\\-1&1\end{bmatrix}$ 이며,
$$ X^{-1}AX=\begin{bmatrix}3&-2\\-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-2\end{bmatrix}=D $$
이다.
그렇다면 다음과 같은 두 가지 의문이 생길 수 있다.
- $D$와 $A$의 관계는 어떻게 되는건가?
- 그럼 적당한 $X$는 어떻게 찾나?
이에 대한 답을 찾아나가보자.
정리
$n\times n$ 행렬 $A$에 대해 다음 두 명제는 동치이다.
- $A$는 대각화 가능 행렬이다.
- $A$는 $n$개의 linearly dependent한 eigenvector를 갖는다.
또한,
💡 만약 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$이 $n\times n$ 행렬의 서로 다른 eigenvalue이고, 상응하는 eigenvectors $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 이 있다면, $v_1,v_2,\cdots,v_n$ 는 linearly independent하다.
즉, 정리해보면
① $A$가 대각화 가능 행렬이라면, $X$의 열벡터들은 $A$의 eigenvector들이고, $D$의 대각 원소들은 $A$의 eigenvalue들이다.
② 대각화를 시키는 행렬 $X$는 unique하지 않다. 즉, $D$의 열의 순서를 바꿀 수도 있고, 0이 아닌 스칼라배를 할 수도 있다.
③ 만약 $n\times n$ 행렬 $A$가 $n$개의 distinct eigenvalues를 갖는다면, $A$는 대각화 가능 행렬이다. 만약, eigenvalue들이 distinct하지 않다면, $A$는 대각화 가능할 수도 있고, 아닐 수도 있다. ($A$가 $n$개의 선형독립인 eigenvector를 가지는지 여부에 따라)
④ $A$가 대각화 가능 행렬이라면, $X^{-1}AX=D$이고, 따라서 $A=XDX^{-1}$로 표현할 수도 있다. 따라서 이 조건에 따라 아래와 같은 유도가 가능하다.
즉, $A=XDX^{-1}$ 로 표현 가능하다면, $A$의 거듭제곱을 계산하기가 매우 수월해진다.
예제) $A=\begin{bmatrix}2&-2\\2&-5\end{bmatrix}$ 일 때, $A^{100}$을 계산하라.
대각화하는 방법
$n\times n$ 행렬 $A$에 대해
① $n$개의 linearly dependent한 eigenvector를 찾아 대각화 가능 행렬인지 확인한다.
② $n$개의 고유벡터 $v_1,\cdots,v_n$ 으로부터 행렬 $P=(v_1\,\,v_2\,\,\cdots\,\,v_n)$ 을 만든다.
③ $P^{-1}AP$ 는 대각행렬이 된다.
중복도(Multiplicity)
정의
$\lambda_0$가 $n\times n$ 행렬 $A$의 eigenvalue이면, 이에 대응하는 고유공간의 차원을 $\lambda_0$의 기하적 중복도(geometric multiplicity)라고 한다.
또한 $A$의 고유다항식에서 $\lambda-\lambda_0$가 인수로 나타나는 횟수를 $\lambda_0$의 대수적 중복도(algebraic multiplicity)라고 한다.
예제)
정리
Square matrix $A$에 대해 다음 두 명제는 동치이다.
- $A$은 대각화 가능 행렬이다.
- $A$의 모든 eigenvalue에 대해서 geometric multiplicity와 algebraic multiplicity는 같다.
닮음 불변량 (Similarity invariant)
정의
두 square matrix $A,B$에 대해
$$ B=P^{-1}AP $$
를 만족하는 가역행렬 $P$가 존재하면 $A,B$는 서로 닮은 행렬(유사행렬, similar matrix)이라고 하고,
기호로 $A\sim B$라 표현한다.
닮음 불변량
서로 닮은 두 행렬의 다음과 같은 성질들은 서로 일치한다.
- 행렬식
- 가역성
- rank
- nullity
- 고유다항식
- eigenvalue
- 고유공간의 차원
- 대각성분들의 합(trace)
- 대수적 중복도(algebraic multiplicity)
- 기하적 중복도(geometric multiplicity)
C-H 정리
임의의 square matrix $A$와 그 고유다항식
$$ f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\sum_{i=0}^na_i\lambda^i $$
에 대해 $f(A)=O$ 이 성립하며, 이를 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton theorem)
라고 한다. (단, $O$는 영행렬)
예제) $A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}$
$$ f(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\det\bigg(\begin{bmatrix}\lambda-1&2\\-3&\lambda+4\end{bmatrix}\bigg)\\=\lambda^2+3\lambda+2 $$
$$ f(A)=\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}^2+3\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-5&6\\-9&10\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3&-6\\9&-12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}=O $$