대각화

대각화

대각화(Diagonalization)

 

정의

두 square matrix $A,D$에 대해 방정식

$$D=X^{-1}AX$$

를 만족하는 대각행렬 $D$와 가역행렬 $X$가 존재하면,

행렬 $A$는 대각화 가능 행렬이라고 한다. ($A$는 diagonalizable하다)

또한 이 경우 행렬 $X$는 $A$를 대각화한다고 한다.($X$ diagonalizes $A$)  

 

모든 square matrix가 대각화가 가능한 것은 아니며,

행렬 $X$와 $D$가 unique한 것은 아니다.

예제) $A=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& -4\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]$

$X^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right]$ 이며,

$$X^{-1}AX=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -2\end{array}\right]=D$$

이다.  

 

그렇다면 다음과 같은 두 가지 의문이 생길 수 있다.

• $D$와 $A$의 관계는 어떻게 되는건가?
• 그럼 적당한 $X$는 어떻게 찾나?

이에 대한 답을 찾아나가보자.  

 

정리

$n\times n$ 행렬 $A$에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

1. $A$는 대각화 가능 행렬이다.
2. $A$는 $n$개의 linearly dependent한 eigenvector를 갖는다.  

 

또한,

💡 만약 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$이 $n\times n$ 행렬의 서로 다른 eigenvalue이고, 상응하는 eigenvectors $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 이 있다면, $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 는 linearly independent하다.

 

즉, 정리해보면

① $A$가 대각화 가능 행렬이라면, $X$의 열벡터들은 $A$의 eigenvector들이고, $D$의 대각 원소들은 $A$의 eigenvalue들이다.

② 대각화를 시키는 행렬 $X$는 unique하지 않다. 즉, $D$의 열의 순서를 바꿀 수도 있고, 0이 아닌 스칼라배를 할 수도 있다.

③ 만약 $n\times n$ 행렬 $A$가 $n$개의 distinct eigenvalues를 갖는다면, $A$는 대각화 가능 행렬이다. 만약, eigenvalue들이 distinct하지 않다면, $A$는 대각화 가능할 수도 있고, 아닐 수도 있다. ($A$가 $n$개의 선형독립인 eigenvector를 가지는지 여부에 따라)

④ $A$가 대각화 가능 행렬이라면, $X^{-1}AX=D$이고, 따라서 $A=XD{X}^{-1}$로 표현할 수도 있다. 따라서 이 조건에 따라 아래와 같은 유도가 가능하다.

즉, $A=XD{X}^{-1}$ 로 표현 가능하다면, $A$의 거듭제곱을 계산하기가 매우 수월해진다.  

 

예제) $A=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& -5\end{array}\right]$ 일 때, $A^{100}$을 계산하라.

 

대각화하는 방법

$n\times n$ 행렬 $A$에 대해

① $n$개의 linearly dependent한 eigenvector를 찾아 대각화 가능 행렬인지 확인한다.

② $n$개의 고유벡터 $v_1,\cdots ,v_n$ 으로부터 행렬 $P=(v_1{v}_2\cdots v_n)$ 을 만든다.

③ $P^{-1}AP$ 는 대각행렬이 된다.  

 

 

중복도(Multiplicity)

정의

${\lambda }_0$가 $n\times n$ 행렬 $A$의 eigenvalue이면, 이에 대응하는 고유공간의 차원을 ${\lambda }_0$의 기하적 중복도(geometric multiplicity)라고 한다.

또한 $A$의 고유다항식에서 $\lambda -{\lambda }_0$가 인수로 나타나는 횟수를 ${\lambda }_0$의 대수적 중복도(algebraic multiplicity)라고 한다.  

 

예제)

 

정리

Square matrix $A$에 대해 다음 두 명제는 동치이다.

1. $A$은 대각화 가능 행렬이다.
2. $A$의 모든 eigenvalue에 대해서 geometric multiplicity와 algebraic multiplicity는 같다.  

 

닮음 불변량 (Similarity invariant)

정의

두 square matrix $A,B$에 대해

$$B=P^{-1}AP$$

를 만족하는 가역행렬 $P$가 존재하면 $A,B$는 서로 닮은 행렬(유사행렬, similar matrix)이라고 하고,

기호로 $A\sim B$라 표현한다.  

 

닮음 불변량

서로 닮은 두 행렬의 다음과 같은 성질들은 서로 일치한다.

1. 행렬식
2. 가역성
3. rank
4. nullity
5. 고유다항식
6. eigenvalue
7. 고유공간의 차원
8. 대각성분들의 합(trace)
9. 대수적 중복도(algebraic multiplicity)
10. 기하적 중복도(geometric multiplicity)  

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C-H 정리

임의의 square matrix $A$와 그 고유다항식

$$f(\lambda )=det(\lambda I-A)=\sum _{i=0}^n{a}_i{\lambda }^i$$

에 대해 $f(A)=O$ 이 성립하며, 이를 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton theorem)

라고 한다. (단, $O$는 영행렬)  

 

예제) $A=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& -4\end{array}\right]$  

 

$$\begin{gathered} f(\lambda )=det(\lambda I-A)=det(\left[\begin{array}{cc}\lambda -1& 2\\ -3& \lambda +4\end{array}\right]) \\ ={\lambda }^2+3\lambda +2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f(A)={\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& -4\end{array}\right]}^2+3\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& -4\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{cc}-5& 6\\ -9& 10\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}3& -6\\ 9& -12\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]=O \end{gathered}$$