복소벡터공간

복소벡터공간

정의

복소수체 $\mathbb{C}$에 대한 가군, 즉, 적당한 집합 $V$에 대해 벡터공간 $(V,\mathbb{C},+,\cdot )$을 복소벡터공간이라 한다.

또한, 모든 복소 $n-$튜플 $(v_1,v_2,\cdots ,v_n)$의 집합을 복소 $n-$공간이라 하고, ${\mathbb{C}}^n$ 으로 표시한다.  

 

복소켤레(Complex conjugate)

${\mathbb{C}}^n$의 임의의 벡터

$$\begin{array}{rl}\text{v}& =(v_1,v_2,\cdots ,v_n)\\ & =(a_1+b_{1}i,a_2+b_{2}i,\cdots ,a_n+b_{n}i)\\ & =(a_1,\cdots ,a_n)+i(b_1,\cdots ,b_n)\\ & =\text{Re}(\text{v})+i\text{Im}(\text{v})\end{array}$$

에 대해, $\text{v}$의 복소켤레는

$$\begin{array}{rl}\bar{\text{v}}& =(\overline{v_1},\overline{v_2},\cdots ,\overline{v_n})\\ & =\text{Re}(\text{v})-i\text{Im}(\text{v})\end{array}$$  

 

예제) $\text{v}=(1+i,-i,3,3i)$ 에 대해 $\text{Re}(\text{v}),\text{Im}(\text{v}),\bar{\text{v}}$ 를 각각 구하라.

$$\begin{gathered} \text{Re}(\text{v})=(1,0,3,0) \\ \text{Im}(\text{v})=(1,-1,0,3) \\ \bar{\text{v}}=(1-i,i,3,-3i) \end{gathered}$$  

 

대수적 성질

① ${\mathbb{C}}^n$의 벡터 $u,v$와 스칼라 $k$에 대해

1. $\overline{\stackrel{―}{u}}=u$
2. $\overline{ku}=\bar{k}\bar{u}$
3. $\overline{u\pm v}=\bar{u}\pm \bar{v}$ (복부호 동순)

② $m\times k$ 행렬 $A$와 $k\times n$ 행렬 $B$에 대해

1. $\overline{\stackrel{―}{A}}=A$
2. $(\overline{A^T})=(\bar{A}{)}^T$
3. $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$  

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복소내적공간

정의

복소벡터공간 $(V,\mathbb{C},+,\cdot )$의 두벡터 $\text{u}=(u_1,u_2,\cdots ,u_n)$와 $\text{v}=(v_1,v_2,\cdots ,v_n)$의 내적 $⟨\text{u},\text{v}⟩:V\times V\to \mathbb{C}$은

$$⟨\text{u},\text{v}⟩={\text{v}}^H\text{u}=u_1\overline{v_1}+u_2\overline{v_2}+\cdots +u_n\overline{v_n}$$

로 정의한다. 

또한 내적이 정의되어 있는 복소벡터공간을 복소내적공간이라 한다.  

  

이 때, 복소수 스칼라 $\alpha =a+bi$ 가 있다고 하자.

$\alpha$의 length는

$$|\alpha |=\sqrt{\bar{\alpha }\alpha }=\sqrt{a^2+b^2}$$

와 같이 정의된다.

따라서, ${\mathbb{C}}^n$의 벡터 $\text{z}=(z_1,\cdots ,z_n)$의 length는

$$\begin{gathered} \Vert \text{z}\Vert ={(|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+\cdots +|z_n{|}^2)}^{\frac{1}{2}}={({\bar{z}}_1{z}_1+{\bar{z}}_2{z}_2+\cdots +{\bar{z}}_n{z}_n)}^{\frac{1}{2}} \\ =({\bar{\text{z}}}^T\text{z}{)}^{\frac{1}{2}}\equiv ({\text{z}}^H\text{z}{)}^{\frac{1}{2}} \end{gathered}$$

와 같다.  

  

예제)

 

성질

복소내적공간의 세 벡터 $\text{u},\text{v},\text{w}$와 스칼라 $k$에 대해 다음 성질이 만족한다.

1. $⟨\text{u},\text{v}⟩=\overline{⟨\text{v},\text{u}⟩}$
2. $$\begin{gathered} ⟨\text{u}+\text{v},\text{w}⟩=⟨\text{u},\text{w}⟩+⟨\text{v},\text{w}⟩ \\ ⟨\text{u},\text{v}+\text{w}⟩=⟨\text{u},\text{v}⟩+⟨\text{u},\text{w}⟩ \end{gathered}$$
3. $$\begin{gathered} ⟨k\text{u},\text{v}⟩=k⟨\text{u},\text{v}⟩ \\ ⟨\text{u},k\text{v}⟩=\bar{k}⟨\text{u},\text{v}⟩ \end{gathered}$$
4. $\text{v}\ne \overrightarrow{0}\Rightarrow ⟨\text{v},\text{v}⟩>0$  

1번은 Conjugate Symmetry

2번, 3번은 Linearity

4번은 Positivity

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고윳값과 벡터

정의

복소정사각행렬 $A$에 대해 고유방정식 $det(\lambda I-A)=0$ 의 복소해 $\lambda$를 $A$의 복소고윳값이라고 한다. (즉, 허근에 대해서도 해를 구해준다는 의미)

또한, $A\text{v}=\lambda \text{v}$ 를 만족시키는 모든 벡터 $\text{v}$의 집합을 $A$의 고유공간이라고 하고,

고유공간의 영벡터가 아닌 벡터를 $A$의 복소고유벡터라고 한다.

(사실 실수행렬과 똑같다고 봐도 무방함)  

 

정리

$\lambda$가 실 정사각행렬 $A$의 고윳값이고 $\text{v}$는 이에 대응하는 고유벡터이면,

$\bar{\lambda }$ 또한 $A$의 고윳값이며 $\bar{\text{v}}$는 이에 대응하는 고유벡터이다.

(이또한 앞에서 고윳값과 벡터 공부할 때 봤던 내용임)  

 

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유니터리 대각화

용어의 정의

켤레전치행렬

복소행렬 $A$의 전치행렬을 구한 다음 각 성분을 켤레인 복소수로 바꾼 행렬 $A^H$를 $A$의 켤레전치행렬 또는 에르미트 전치행렬이라고 한다.  

 

※ 스칼라 $k$와 $m\times r$ 행렬 $A$, $r\times n$ 행렬 $B$에 대해 다음이 성립한다.

1. ${(A^H)}^H=A$
2. $(A\pm B{)}^H=A^H\pm B^H$ (복부호 동순)
3. $(kA{)}^H=\bar{k}{A}^H$
4. $(AB{)}^H=B^H{A}^H$  

 

에르미트행렬(Hermitian matrix)

$A=A^H$ 가 성립하는 복소정사각행렬 $A$를 에르미트행렬(hermitian matrix)이라고 한다.  

  

만약, 행렬 $A$가 실수 entry 로만 이루어져 있다면, $A^H=A^T$ 이다.

따라서 real symmetric matrix $A$는 에르미트 행렬이다.  

 

💡 에르미트 행렬의 eigenvalue들은 모두 실수이다. 더 나아가, 서로 다른 eigenvalue들과 연관된 eigenvector들은 서로 직교(orthogonal)한다.

증명)

$\lambda$를 에르미트 행렬 $A$의 eigenvalue, $v$를 $\lambda$에 따른 eigenvector라고 하자.

만약 $\alpha =v^{H}Av$ 라고 하면, $\alpha$는 실수이다.

왜냐하면

$$\bar{\alpha }=(\bar{\alpha }{)}^T={\alpha }^H=(v^{H}Av{)}^H=(Av{)}^H(v^H{)}^H=v^H{A}^{H}v=v^{H}Av=\alpha$$

이고, 또한

$$\alpha =v^{H}Av=\lambda v^{H}v=\lambda \Vert v{\Vert }^2$$

과 같이 $\lambda =\alpha /\Vert v{\Vert }^2$ 임을 유도할 수 있으므로 $\lambda$ 또한 실수이다.  

 

또, 만약 $v_1,v_2$가 서로 다른 eigenvalue ${\lambda }_1,{\lambda }_2$에 해당하는 eigenvector라면,

$$(A{v}_1{)}^H{v}_2=v_1^H{A}^H{v}_2=v_1^{H}A{v}_2=v_1^H{\lambda }_2{v}_2={\lambda }_2{v}_1^H{v}_2$$

$$(A{v}_1{)}^H{v}_2=({\lambda }_1{v}_1{)}^H{v}_2=v_1^H{\lambda }_1{v}_2={\lambda }_1{v}_1^H{v}_2$$

이므로 ${\lambda }_1{v}_1^H{v}_2={\lambda }_2{v}_1^H{v}_2$ 이며, ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 이므로 $v_1^H{v}_2=0$ 이다.

즉, $⟨v_2,v_1⟩=v_1^H{v}_2=0$ 이므로 $v_1$과 $v_2$는 orthogonal하다.

 

유니터리행렬(Unitary matrix)

복소정사각행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$ 에 대해 $A^{-1}=A^H$ 가 성립하는 행렬 $A$를 유니터리행렬(unitary matrix)이라 한다.  

즉, 유니터리행렬은 직교행렬을 복소수로 확장한 개념이다.

따라서 실수의 유니터리행렬은 직교행렬이라고 말할 수 있다.

 

정규행렬(Normal matrix)

$A{A}^H=A^{H}A$ 가 성립하는 복소정사각행렬 $A$를 정규행렬(normal matrix)이라고 한다.

에르미트 행렬, 유니터리 행렬 등이 이에 해당한다.  

  

 

유니터리 대각화

정의

$P^{H}AP=D$가 복소대각행렬이 되는 유니터리행렬 $P$가 존재하면,

복소정사각행렬 $A$는 유니터리 대각화 가능하다고 한다.

또한 이러한 임의의 행렬 $P$는 $A$를 유니터리 대각화한다고 한다.  

 

정리

유니터리 대각화 가능한 행렬은 정규행렬이며, 그 역도 성립한다.

즉 정규행렬은 유니터리 대각화 가능하다.  

 

에르미트행렬 $A$의 유니터리 대각화 과정

1. $A$의 모든 고유공간의 기저를 구한다.
2. 고유공간의 정규직교기저를 구한다.
3. 기저벡터를 열벡터로 하는 행렬 $P$는 유니터리행렬이고, $A$를 대각화한다.