벡터공간 (2)

Change of Basis

$\mathbf{R}^2$ 에서, 어떠한 vector $\text{x}=(x_1,x_2)$도 표준기저 $\{\text{e}_1,\text{e}_2\}$의 linear combination으로 표현가능하다.

이 때, scalar $x_1,x_2$를 표준기저 $\text{e}_1, \text{e}_2$에 대한 coordinates, 즉 좌표라고 부른다.

더 나아가서, 또 다른 새로운 basis인 $\{\text{y},\text{z}\}$가 있을 때, $\text{x}$는 $\text{x}=a\text{y}+b\text{z}$ 로 unique하게 표현된다.

$\text{y}=y_1\text{e}_1+y_2\text{e}_2$ 이고 $\text{z}=z_1\text{e}_1+z_2\text{e}_2$ 라면,

즉 이와 같은 transition matrix를 기억해두자.

특정 기저에서 다른 기저로의 변환을 위해서는 이전 기저가 다음 기저로 어떻게 표현되는지(좌표)를 열벡터로 나란히 적어주는 것과 같다.  

 

예제)

기저 $\text{b}_1=(1,-1),\,\,\text{b}_2=(-2,3)$ 이라고 하자. 이 때, $\{\text{e}_1,\text{e}_2\}$에서 $\{\text{b}_1,\text{b}_2\}$로의 transition matrix T 를 구하고, 

좌표 $\text{x}=(1,2)$를 $\{\text{b}_1,\text{b}_2\}$ 기준으로 표현하라.  

 

$\{\text{e}_1,\text{e}_2\}$ 에서 $\{\text{b}_1,\text{b}_2\}$ 로 변환하는 것이므로, $\text{e}_1$은 $3\text{b}_1+b_2$ 이고, $\text{e}_2$는 $2\text{b}_1+\text{b}_2$ 이다.

따라서 transition matrix는 $\begin{bmatrix}3 & 2 \\1 & 1\end{bmatrix}$ 이다.  

 

따라서 좌표 $\text{x}=(1,2)$를 $\{\text{b}_1,\text{b}_2\}$ 기준으로 표현하면$\begin{bmatrix}3 & 2 \\1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\3\end{bmatrix}$ 이고, $7\text{b}_1+3\text{b}_2$ 이다.

 

💡 어떤 vector $\text{v}$가 있을 때, $[\text{v}]_B=(c_1,c_2,...,c_n)$ 를 ordered basis $B$에 대한 coordinate vector라고 하고, 
이 vector의 component를 $B$에 대한 coordinates(좌표)라고 한다.

 

그래서 위의 change of basis를 좀 더 general하게 정리해보면 다음과 같다.

 

또한, 마찬가지로 $\text{P}$가 $B$에서 $B^\prime$으로의 transition matrix라고 할 때,

$\text{P}^{-1}$는 $B^\prime$에서 $B$로의 transition matrix이다.

예제)

$B=\{\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3\}=\{(1,1,1),(2,3,2),(1,5,4)\} \\ B^\prime=\{\text{u}_1,\text{u}_2,\text{u}_3\}=\{(1,1,0),(1,2,0),(1,2,1)\}$ 이라고 할 때,

$B$에서 $B^\prime$으로의 transition matrix를 구하라.  

 

$B$에서 $B^\prime$이므로 $B$를 $B^\prime$의 linear combination으로 표현한 matrix를 찾아야 한다.

즉 $[[\text{v}_1]_{B^\prime}\,\,\,[\text{v}_2]_{B^\prime}\,\,\,[\text{v}_3]_{B^\prime}]$을 찾아야 한다.

 

 

Row Space and Column Space

Row Space and Column Space

💡 $\text{A}$가 $m\times n$ 행렬일 때, 
$\text{A}$의 row vector들로 span 된 $\mathbf{R}^{1\times n}$ subspace를 row space라 부르고, $\text{Row}(\text{A})$로 표기한다. 
$\text{A}$의 column vector들로 span 된 $\mathbf{R}^{m}$ subspace를 column space라 부르고, $\text{Col}(\text{A})$로 표기한다.

 

💡 두 row-equivalent한 행렬은 같은 row space를 가진다.

 

(Proof)

$\text{A}\sim\text{B}$ 이면, $\text{B}$가 $\text{A}$로부터 유한한 sequence의 row operation으로 얻어질 수 있다는 뜻이다. 따라서 $\text{B}$의 각 row vector는 $\text{A}$의 row vector들의 linear combination일 수 밖에 없다. 결과적으로 $\text{B}$의 row space는 $\text{A}$의 row space의 subspace이다.

반대로, $\text{B}\sim\text{A}$ 를 생각해봤을 때는, $\text{A}$의 row space는 $\text{B}$의 row space의 subspace이다.

그러므로 두 행렬이 같은 row space를 갖는다고 말할 수 있다.  

 

💡 Echelon form의 행렬 $\text{A}$에서 nonzero row vector들은 linearly independent 하다. 따라서 nonzero row vector의 set은 $\text{A}$의 row space의 basis가 된다.

 

Rank

💡 행렬 $\text{A}$의 rank는 $\text{A}$의 row space의 dimension이며, $\text{Rank}(\text{A})$로 표기한다.

 

Row space와 Column space의 concept을 이해하는 것은 linear system을 이해하는 데 큰 도움을 준다.  

 

💡 Linear system $\text{A}\text{x}=\text{b}$ 가 해를 가지려면 $\text{b}$가 $\text{A}$의 column space에 속하는 것이 필요충분조건이다.

 

Nullity

$m\times n$ 행렬 $\text{A}$의 null space의 dimension을 nullity 라고 한다.  

 

Rank-Nullity theorem

💡 $\text{A}$가 $m\times n$ 행렬일 때, $\text{A}$의 rank와 nullity의 합은 열의 개수 $n$과 같다.
$$\text{Rank}(\text{A})+\text{Nullity}(\text{A})=n$$