고윳값과 고유벡터

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고윳값과 벡터

정의

체 $F$에 대한 벡터공간 $V$위의 선형사상 $L: V\rightarrow V$에 대해 다음 두 조건

$v\neq\overrightarrow{0}$
$L(v)=\lambda v$

를 만족하는 $\lambda \in F$와 $v\in V$ 를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다.

(그래도 영어가 편하니까 고윳값은 eigenvalue, 고유벡터는 eigenvector로 표현)

행렬로 생각해보면,

고유방정식

영어로 characteristic equation이라고 부른다.

$n\times n$ 행렬 $A$에 대해 $\lambda$가 $A$의 eigenvalue이기 위한 필요충분조건은 다음 방정식

$$ \det(A-\lambda I)=0 $$

을 만족하는 것이다.

(why? $Av=\lambda v$ 는 $(A-\lambda I)v=0$ 이고, 정의에 따라 $v$는 영벡터가 아니므로 $\det(A-\lambda I)=0$ 만족해야 함)

이 방정식을 고유방정식이라고 하며, 좌변의 식을 고유다항식이라고 한다.

(eigenvalue는 특수한 값이지만 유일한 값은 아님)

고유공간

선형사상 $L-\lambda I$ 의 핵(kernel)을 eigenvalue $\lambda$의 고유공간이라고 한다.

따라서, 고유공간($L-\lambda I$의 null space)의 영벡터가 아닌 벡터는 eigenvector이다.

또한, $L$의 eigenvector들로 구성된 $V$의 basis를 선형사상 $L$의 고유기저(eigenbasis)라고 한다.

알고리즘

Eigenvalue와 Eigenvector를 찾는 알고리즘은 다음과 같다.

예제) $A=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$

예제) $A=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

예제) $A=\begin{bmatrix}1&0&3\\1&-1&2\\-1&1&-2\end{bmatrix}$

Complex Eigenvalues

벡터와 행렬의 원소로 복소수도 가능하도록, field of scalar를 복소수까지 확장해서 생각해보자.

그러면 $n\times n$ 실수 행렬 $A$는 $n$개의 eigenvalue를 가질 것이고,

어떤 eigenvalue는 중복될 수도 있고, 복소수를 가질 수도 있다.

유의할 점은, 만약 $\lambda=a+bi\,\,\,(b\neq0 )$ 가 eigenvalue라면, 반드시 $\overline{\lambda}=a-bi\,\,\,(b\neq0 )$ 또한 $A$의 eigenvalue가 되어야 한다.

또, 만약 $\text{z}$가 $\lambda$에 해당하는 eigenvector일 때, $A\overline{\text{z}}=\overline{\lambda}\overline{\text{z}}$ 도 만족한다.

예제) $A=\begin{bmatrix}1&2\\-2&1\end{bmatrix}$

Product and Sum of Eigenvalues

$n\times n$ 행렬 $A$에 대해, $A$의 고유다항식(characteristic polynomial) $p(\lambda)$는 다음의 꼴을 가진다.

첫번째 열에 대해서, determinant 전개를 하면,

와 같다.

이 때, 소행렬 $\mathbf{M}{i1}$의 대각선 원소에서 $(a{11}-\lambda)$ 와 $(a_{ii}-\lambda)$는 나타나지 않는다.

$\det({\mathbf{M}_{11}})$를 같은 방식으로 전개하면,

$$ (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda) $$

만이 $\det(A-\lambda I)$의 전개식 가운데 대각원소 $(n-2)$ 개 이상의 곱으로 이루어진 항임을 알 수 있다.

따라서 $p(\lambda)$의 최고차항의 계수가 $(-1)^n$이다.

$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$이 $A$의 eigenvalue들이라면,

$$ p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(-1)^n(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\\=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda) $$

가 되므로, 따라서

$$ \lambda_1\cdot\lambda_2\cdots\lambda_n=p(0)=\det(A-0I)=\det(A) $$

가 성립한다.

즉, $A$의 행렬식은 $A$의 모든 eigenvalue의 곱과 같다.

또 재밌는 사실은,

$(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda)$에서 $(-\lambda)^{n-1}$의 계쑤는 $\sum a_{ii}$ 즉, 대각합 trace가 된다.

또, $p(\lambda)$로부터

$$ p(\lambda)=(-1)^n(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\\=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda) $$

똑같이 $\sum\lambda_i$ 가 계수임을 알 수 있으므로,

$$ \sum_{i=1}^n\lambda_i=\sum_{i=1}^na_{ii}=\text{tr}(A) $$

라는 성질을 유도해낼 수 있다.

즉, $A$의 대각합은, 모든 eigenvalue의 합과 같다.

예제) $A=\begin{bmatrix}5&-18\\1&-1\end{bmatrix}$

$A$의 행렬식이 모든 eigenvalue의 곱과 같다는 것으로부터 다음을 유도할 수 있다.

💡 정방행렬 $A$가 invertible하기 위한 필요충분조건은 $A$의 eigenvalue가 0이 아닌 것이다.

Eigenvalue에 0이 있으면, $\det(A)=0$이 되기 때문이다.