선형대수학
복소벡터공간
복소벡터공간 정의 복소수체 $\mathbb{C}$에 대한 가군, 즉, 적당한 집합 $V$에 대해 벡터공간 $(V,\mathbb{C},+,\,\cdot\,)$을 복소벡터공간이라 한다. 또한, 모든 복소 $n-$튜플 $(v_1,v_2,\cdots,v_n)$의 집합을 복소 $n-$공간이라 하고, $\mathbb{C}^n$ 으로 표시한다. 복소켤레(Complex conjugate) $\mathbb{C}^n$의 임의의 벡터 $$ \begin{align*} \text{v} & =(v_1,v_2,\cdots,v_n)\\ & =(a_1+b_1i,a_2+b_2i,\cdots,a_n+b_ni)\\ & =(a_1,\cdots,a_n)+i(b_1,\cdots,b_n)\\&=\text{Re}(\text{v})+i\,\text{..
대각화
대각화 대각화(Diagonalization) 정의 두 square matrix $A,D$에 대해 방정식 $$ D=X^{-1}AX $$ 를 만족하는 대각행렬 $D$와 가역행렬 $X$가 존재하면, 행렬 $A$는 대각화 가능 행렬이라고 한다. ($A$는 diagonalizable하다) 또한 이 경우 행렬 $X$는 $A$를 대각화한다고 한다.($X$ diagonalizes $A$) 모든 square matrix가 대각화가 가능한 것은 아니며, 행렬 $X$와 $D$가 unique한 것은 아니다. 예제) $A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}$ $X^{-1}=\begin{bmatrix}3&-2\\-1..
고윳값과 고유벡터
고윳값과 벡터 정의 체 $F$에 대한 벡터공간 $V$위의 선형사상 $L: V\rightarrow V$에 대해 다음 두 조건 $v\neq\overrightarrow{0}$ $L(v)=\lambda v$ 를 만족하는 $\lambda \in F$와 $v\in V$ 를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다. (그래도 영어가 편하니까 고윳값은 eigenvalue, 고유벡터는 eigenvector로 표현) 행렬로 생각해보면, 고유방정식 영어로 characteristic equation이라고 부른다. $n\times n$ 행렬 $A$에 대해 $\lambda$가 $A$의 eigenvalue이기 위한 필요충분조건은 다음 방정식 $$ \det(A-\lambda I)=0 $$ 을 만족하는 것이다. (why? $Av=\lambda..
벡터공간 (2)
Change of Basis $\mathbf{R}^2$ 에서, 어떠한 vector $\text{x}=(x_1,x_2)$도 표준기저 $\{\text{e}_1,\text{e}_2\}$의 linear combination으로 표현가능하다. 이 때, scalar $x_1,x_2$를 표준기저 $\text{e}_1, \text{e}_2$에 대한 coordinates, 즉 좌표라고 부른다. 더 나아가서, 또 다른 새로운 basis인 $\{\text{y},\text{z}\}$가 있을 때, $\text{x}$는 $\text{x}=a\text{y}+b\text{z}$ 로 unique하게 표현된다. $\text{y}=y_1\text{e}_1+y_2\text{e}_2$ 이고 $\text{z}=z_1\text{e}_1+z_2\..
벡터공간 (1)
Vector Space $V$가 addition과 scalar multiplication이 정의된 집합이라고 할 때, 1. Addition 두 개의 $V$에 속한 element $\text{u},\text{v}$의 합, 즉 $\text{u}+\text{v}$ 2. Scalar multiplication Scalar인 $c$와 $V$의 element $\text{u}$ 로 이루어진 rule로써, $c\text{u}$로 나타냄. 이와 같이, 두 operation이 정의되어 있고, 다음의 axiom들을 만족하면 Vector space라고 함. Null space Matrix에서 정의된 subspace이다. $m\times n$ matrix $A$ 의 null space는 $A\text{x}=0$을 만족하는 모..