선형대수학

복소벡터공간
복소벡터공간 정의 복소수체 C에 대한 가군, 즉, 적당한 집합 V에 대해 벡터공간 (V,C,+,⋅)을 복소벡터공간이라 한다. 또한, 모든 복소 n−튜플 (v1,v2,⋯,vn)의 집합을 복소 n−공간이라 하고, Cn 으로 표시한다. 복소켤레(Complex conjugate) Cn의 임의의 벡터 $$ \begin{align*} \text{v} & =(v_1,v_2,\cdots,v_n)\\ & =(a_1+b_1i,a_2+b_2i,\cdots,a_n+b_ni)\\ & =(a_1,\cdots,a_n)+i(b_1,\cdots,b_n)\\&=\text{Re}(\text{v})+i\,\text{..

대각화
대각화 대각화(Diagonalization) 정의 두 square matrix A,D에 대해 방정식 D=X−1AX 를 만족하는 대각행렬 D와 가역행렬 X가 존재하면, 행렬 A는 대각화 가능 행렬이라고 한다. (A는 diagonalizable하다) 또한 이 경우 행렬 X는 A를 대각화한다고 한다.(X diagonalizes A) 모든 square matrix가 대각화가 가능한 것은 아니며, 행렬 X와 D가 unique한 것은 아니다. 예제) A=[1−23−4],X=[1213] $X^{-1}=\begin{bmatrix}3&-2\\-1..

고윳값과 고유벡터
고윳값과 벡터 정의 체 F에 대한 벡터공간 V위의 선형사상 L:V→V에 대해 다음 두 조건 v≠→0 L(v)=λv 를 만족하는 λ∈F와 v∈V 를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다. (그래도 영어가 편하니까 고윳값은 eigenvalue, 고유벡터는 eigenvector로 표현) 행렬로 생각해보면, 고유방정식 영어로 characteristic equation이라고 부른다. n×n 행렬 A에 대해 λ가 A의 eigenvalue이기 위한 필요충분조건은 다음 방정식 det(A−λI)=0 을 만족하는 것이다. (why? $Av=\lambda..

벡터공간 (1)
Vector Space V가 addition과 scalar multiplication이 정의된 집합이라고 할 때, 1. Addition 두 개의 V에 속한 element u,v의 합, 즉 u+v 2. Scalar multiplication Scalar인 c와 V의 element u 로 이루어진 rule로써, cu로 나타냄. 이와 같이, 두 operation이 정의되어 있고, 다음의 axiom들을 만족하면 Vector space라고 함. Null space Matrix에서 정의된 subspace이다. m×n matrix A 의 null space는 Ax=0을 만족하는 모..