복소벡터공간

복소벡터공간

정의

복소수체 $\mathbb{C}$에 대한 가군, 즉, 적당한 집합 $V$에 대해 벡터공간 $(V,\mathbb{C},+,\,\cdot\,)$을 복소벡터공간이라 한다.

또한, 모든 복소 $n-$튜플 $(v_1,v_2,\cdots,v_n)$의 집합을 복소 $n-$공간이라 하고, $\mathbb{C}^n$ 으로 표시한다.  

 

복소켤레(Complex conjugate)

$\mathbb{C}^n$의 임의의 벡터

$$\begin{align*} \text{v} & =(v_1,v_2,\cdots,v_n)\\ & =(a_1+b_1i,a_2+b_2i,\cdots,a_n+b_ni)\\ & =(a_1,\cdots,a_n)+i(b_1,\cdots,b_n)\\&=\text{Re}(\text{v})+i\,\text{Im}(\text{v}) \end{align*}$$

에 대해, $\text{v}$의 복소켤레는

$$\begin{align*} \overline{\text{v}} & =(\overline{v_1},\overline{v_2},\cdots,\overline{v_n})\\ &=\text{Re}(\text{v})-i\,\text{Im}(\text{v}) \end{align*}$$   

 

예제) $\text{v} =(1+i,-i,3,3i)$ 에 대해 $\text{Re}(\text{v}),\,\text{Im}(\text{v}),\,\overline{\text{v}}$ 를 각각 구하라.

$$\text{Re}(\text{v})=(1,0,3,0)\\\text{Im}(\text{v})=(1,-1,0,3)\\\overline{\text{v}}=(1-i,i,3,-3i)$$   

 

대수적 성질

① $\mathbb{C}^n$의 벡터 $u,v$와 스칼라 $k$에 대해

1. $\overline{\overline{u}}=u$
2. $\overline{ku}=\overline{k}\overline{u}$
3. $\overline{u\pm v}=\overline{u}\pm\overline{v}$ (복부호 동순)

② $m\times k$ 행렬 $A$와 $k\times n$ 행렬 $B$에 대해

1. $\overline{\overline{A}}=A$
2. $(\overline{A^T})=(\overline{A})^T$
3. $\overline{AB}=\overline{A}\,\overline{B}$  

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복소내적공간

정의

복소벡터공간 $(V,\mathbb{C},+,\,\cdot\,)$의 두벡터 $\text{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$와 $\text{v}=(v_1,v_2,\cdots,v_n)$의 내적 $\langle\text{u},\text{v}\rangle:V\times V\rightarrow\mathbb{C}$은

$$\langle\text{u},\text{v}\rangle=\text{v}^H\text{u}=u_1\overline{v_1}+u_2\overline{v_2}+\cdots+u_n\overline{v_n}$$

로 정의한다. 

또한 내적이 정의되어 있는 복소벡터공간을 복소내적공간이라 한다.  

  

이 때, 복소수 스칼라 $\alpha=a+bi$ 가 있다고 하자.

$\alpha$의 length는

$$|\alpha|=\sqrt{\overline{\alpha}\alpha}=\sqrt{a^2+b^2}$$

와 같이 정의된다.

따라서, $\mathbb{C}^n$의 벡터 $\text{z}=(z_1,\cdots,z_n)$의 length는

$$\|\text{z}\|={(|z_1|^2+|z_2|^2+\cdots+|z_n|^2)}^{\frac{1}{2}}={(\overline{z}_1z_1+\overline{z}_2z_2+\cdots+\overline{z}_nz_n)}^{\frac{1}{2}}\\={({\overline{\text{z}}}^T\text{z}})^{\frac{1}{2}}\equiv{({\text{z}}^H\text{z}})^{\frac{1}{2}}$$

와 같다.  

  

예제)

 

성질

복소내적공간의 세 벡터 $\text{u},\text{v},\text{w}$와 스칼라 $k$에 대해 다음 성질이 만족한다.

1. $\langle\text{u},\text{v}\rangle=\overline{\langle\text{v},\text{u}\rangle}$
2. $\langle\text{u}+\text{v},\text{w}\rangle=\langle\text{u},\text{w}\rangle+\langle\text{v},\text{w}\rangle\\\langle\text{u},\text{v}+\text{w}\rangle=\langle\text{u},\text{v}\rangle+\langle\text{u},\text{w}\rangle$
3. $\langle k\text{u},\text{v}\rangle=k\langle\text{u},\text{v}\rangle\\\langle \text{u},k\text{v}\rangle=\overline{k}\langle\text{u},\text{v}\rangle$
4. $\text{v}\neq\overrightarrow{0}\Rightarrow\langle\text{v},\text{v}\rangle>0$  

1번은 Conjugate Symmetry

2번, 3번은 Linearity

4번은 Positivity

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고윳값과 벡터

정의

복소정사각행렬 $A$에 대해 고유방정식 $\det(\lambda I-A)=0$ 의 복소해 $\lambda$를 $A$의 복소고윳값이라고 한다. (즉, 허근에 대해서도 해를 구해준다는 의미)

또한, $A\text{v}=\lambda\text{v}$ 를 만족시키는 모든 벡터 $\text{v}$의 집합을 $A$의 고유공간이라고 하고,

고유공간의 영벡터가 아닌 벡터를 $A$의 복소고유벡터라고 한다.

(사실 실수행렬과 똑같다고 봐도 무방함)  

 

정리

$\lambda$가 실 정사각행렬 $A$의 고윳값이고 $\text{v}$는 이에 대응하는 고유벡터이면,

$\overline{\lambda}$ 또한 $A$의 고윳값이며 $\overline{\text{v}}$는 이에 대응하는 고유벡터이다.

(이또한 앞에서 고윳값과 벡터 공부할 때 봤던 내용임)  

 

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유니터리 대각화

용어의 정의

켤레전치행렬

복소행렬 $A$의 전치행렬을 구한 다음 각 성분을 켤레인 복소수로 바꾼 행렬 $A^H$를 $A$의 켤레전치행렬 또는 에르미트 전치행렬이라고 한다.  

 

※ 스칼라 $k$와 $m\times r$ 행렬 $A$, $r\times n$ 행렬 $B$에 대해 다음이 성립한다.

1. ${(A^H)}^H=A$
2. $(A\pm B)^H=A^H\pm B^H$ (복부호 동순)
3. $(kA)^H=\overline{k}A^H$
4. $(AB)^H=B^HA^H$  

 

에르미트행렬(Hermitian matrix)

$A=A^H$ 가 성립하는 복소정사각행렬 $A$를 에르미트행렬(hermitian matrix)이라고 한다.  

  

만약, 행렬 $A$가 실수 entry 로만 이루어져 있다면, $A^H=A^T$ 이다.

따라서 real symmetric matrix $A$는 에르미트 행렬이다.  

 

💡 에르미트 행렬의 eigenvalue들은 모두 실수이다. 더 나아가, 서로 다른 eigenvalue들과 연관된 eigenvector들은 서로 직교(orthogonal)한다.

증명)

$\lambda$를 에르미트 행렬 $A$의 eigenvalue, $v$를 $\lambda$에 따른 eigenvector라고 하자.

만약 $\alpha=v^HAv$ 라고 하면, $\alpha$는 실수이다.

왜냐하면

$$\overline{\alpha}=(\overline{\alpha})^T=\alpha^H=(v^HAv)^H=(Av)^H(v^H)^H=v^HA^Hv=v^HAv=\alpha$$

이고, 또한

$$\alpha=v^HAv=\lambda v^Hv=\lambda\|v\|^2$$

과 같이 $\lambda=\alpha\,/\,\|v\|^2$ 임을 유도할 수 있으므로 $\lambda$ 또한 실수이다.  

 

또, 만약 $v_1, v_2$가 서로 다른 eigenvalue $\lambda_1,\lambda_2$에 해당하는 eigenvector라면,

$$(Av_1)^Hv_2=v_1^HA^Hv_2=v_1^HAv_2=v_1^H\lambda_2v_2=\lambda_2v_1^Hv_2$$

$$(Av_1)^Hv_2=(\lambda_1v_1)^Hv_2=v_1^H\lambda_1v_2=\lambda_1v_1^Hv_2$$

이므로 $\lambda_1v_1^Hv_2=\lambda_2v_1^Hv_2$ 이며, $\lambda_1\neq\lambda_2$ 이므로 $v_1^Hv_2=0$ 이다.

즉, $\langle v_2,v_1\rangle=v_1^Hv_2=0$ 이므로 $v_1$과 $v_2$는 orthogonal하다.

 

유니터리행렬(Unitary matrix)

복소정사각행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$ 에 대해 $A^{-1}=A^H$ 가 성립하는 행렬 $A$를 유니터리행렬(unitary matrix)이라 한다.  

즉, 유니터리행렬은 직교행렬을 복소수로 확장한 개념이다.

따라서 실수의 유니터리행렬은 직교행렬이라고 말할 수 있다.

 

정규행렬(Normal matrix)

$AA^H=A^HA$ 가 성립하는 복소정사각행렬 $A$를 정규행렬(normal matrix)이라고 한다.

에르미트 행렬, 유니터리 행렬 등이 이에 해당한다.  

  

 

유니터리 대각화

정의

$P^HAP=D$가 복소대각행렬이 되는 유니터리행렬 $P$가 존재하면,

복소정사각행렬 $A$는 유니터리 대각화 가능하다고 한다.

또한 이러한 임의의 행렬 $P$는 $A$를 유니터리 대각화한다고 한다.  

 

정리

유니터리 대각화 가능한 행렬은 정규행렬이며, 그 역도 성립한다.

즉 정규행렬은 유니터리 대각화 가능하다.  

 

에르미트행렬 $A$의 유니터리 대각화 과정

1. $A$의 모든 고유공간의 기저를 구한다.
2. 고유공간의 정규직교기저를 구한다.
3. 기저벡터를 열벡터로 하는 행렬 $P$는 유니터리행렬이고, $A$를 대각화한다.