수학적 벡터

본 포스팅은 유튜브 채널 이상엽Math를 참고하였습니다.

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대수구조

대수구조

영어로 Algebraic structure. 수 뿐 아니라 수를 대신할 수 있는 모든 것을 대상으로 하는 집합과 그 집합에 부여된 연산이 여러 가지 공릴써 엮인 수학적 대상.

간단히 일련의 연산들이 주어진 집합을 대수구조라고 함.

 

여러 대수구조

반군(Semigroup)

집합과 그 위의 결합법칙을 따르는 하나의 이항 연산을 갖춘 대수구조.

모노이드(Monoid)

항등원을 갖는 반군.

군(Group)

역원을 갖는 모노이드.

아벨군(Abelian group)

교환법칙이 성립하는 군

환(Ring)

덧셈에 대하여 아벨군을, 곱셈에 대하여는 반군을 이루고 분배법칙(Distributive law)를 만족하는 대수구조.

가군(Module)

어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 분배법칙이 성립하는 아벨군.

가환환(Commutative ring)

곱셉이 교환법칙을 만족하는 환(ring)

나눗셈환(Division ring)

0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지며, 원소의 개수가 둘 이상인 환.

체(Field)

가환환인 나눗셈환. 즉, 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산수르이 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수구조.

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벡터공간

벡터공간

체 $F$에 대한 가군 $(V,+,\cdot)$ 을 만족함. $V$의 원소를 벡터라 하고, 이 때 $+$는 벡터의 덧셈이고, $\cdot$ 은 벡터의 스칼라배이다.

 

1. $(V, +)$ 는 아벨군(Abelian group)이다. $(\text{u}, \text{v}, \text{w}\in V)$

• $(\text{u}+\text{v})+\text{w}=\text{u}+(\text{v}+\text{w})$
• $\text{u}+\text{v}=\text{v}+\text{u}$
• $\text{u}+\overrightarrow{0}=\text{u}$ 인 $\overrightarrow{0}$ 가 $V$에 존재
• $\text{u}+(-\text{u})=\overrightarrow{0}$ 인 $-\text{u}$ 가 $V$에 존재

2. $(V,+,\cdot)$ 는 $F$의 가군이다. $(k,m\in F)$

• $k\cdot(m\cdot\text{u})=(km)\cdot\text{u}$
• $F$의 곱셈 항등원 1에 대해 $1\cdot\text{u}=\text{u}$
• $(k+m)\cdot(\text{u}+\text{v})=k\cdot\text{u}+m\cdot\text{u}+k\cdot\text{v}+m\cdot\text{v}$

선형생성

벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S=\{\text{v}_1,\text{v}_2,\cdots,\text{v}_n\}$ 내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합으로 이루어진, $V$의 부분벡터공간을 $S$의 (선형)생성 $span(S)$ 라고 한다.

즉, $span(S)=\bigg\{\sum_{i=1}^nk_i\text{v}_i\bigg|k_i\in F, \hspace{0.2cm}\text{v}_i\in S\bigg\}$

이 때, $S$ 가 $span(S)$을 (선형)생성한다라고 한다.

선형독립

벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $S=\{\text{v}_1,\text{v}_2,\cdots,\text{v}_n\}$ 에 대하여

$k_1\text{v}_1+k_2\text{v}_2+\cdots+k_n\text{v}_n=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow k_1=k_2=\cdots=k_n=0$

이면 $S$ 가 **선형독립(Linearly independent)**이라고 함.

만약 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ 외의 다른 해가 존재하면 $S$는 **선형종속(Linearly dependent)**라고 함.

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여러 벡터공간

노름공간

영어로 Normed space 라고 함. Norm이 부여된 $K-$벡터공간 $(V, \|\cdot\|)$

Norm이란 $\forall\text{u}, \text{v}\in V,\hspace{0.2cm} \forall k\in K$ 에 대해 아래 세 조건을 만족시키는 함수이다.

$\|\cdot\|:V\rightarrow[0, \infty)$ 이고, $K\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ (즉, 앞에서는 체에서 스칼라를 가져다 썼는데, $K$는 더 좁아짐. 실수, 복소수)

1. $\|k\text{v}\|=|k|\|\text{v}\|$
2. $\|\text{u}+\text{v}\|\leq\|\text{u}\|+\|\text{v}\|$
3. $\|\text{v}\|=0\Leftrightarrow\text{v}=\overrightarrow{0}$

내적공간

영어로 Inner product space 라고 함. 내적이 부여된 $K-$벡터공간 $(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)$

내적이란 $\forall\text{u}, \text{v}, \text{w}\in V,\hspace{0.2cm} \forall k\in K$ 에 대해 아래 네 조건을 만족시키는 함수이다.

$\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\rightarrow K$ 이고, $K\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$

1. $\langle\text{u}+\text{v},\text{w}\rangle=\langle\text{u},\text{w}\rangle+\langle\text{v},\text{w}\rangle$
2. $\langle k\text{u},\text{v}\rangle=k\langle\text{u},\text{v}\rangle$
3. $\langle\text{u},\text{v}\rangle=\overline{\langle\text{u},\text{v}\rangle}$
4. $\text{v}\neq\overrightarrow{0}\Rightarrow\langle\text{v},\text{v}\rangle>0$

유클리드공간

음이 아닌 정수 $n$ 에 대해 $n$차원 유클리드공간 $R^n$ 은 실수집합 $R$ 의 $n$ 번 곱집합이며, 이를 $n$차원 실수 벡터공간으로써 정의하기도 함.

이 유클리드 공간 위에 내적 $\langle\text{u},\text{v}\rangle=\sum_{i=1}^n\text{u}_i\text{v}_i=\text{u}\cdot\text{v}$ 을 정의하면 을 정의하면 점곱, 스칼라곱이라고도 함.

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기저와 차원

기저(basis)

벡터공간 $V$의 부분집합 $B$가 선형독립이고 $V$를 생성할 때, $B$를 $V$의 기저라 한다.

차원(dimension)

$B$가 벡터공간 $V$의 기저일 때 $B$의 원소의 개수를 $V$의 $\dim(V)$라고 한다.

정규기저(normal basis)

다음 조건을 만족하는 Normed space $V$의 기저 $B$를 정규기저라 함.

$\forall b\in B,\hspace{0.2cm}\|b\|=1$

직교기저(orthogonal basis)

다음 조건을 만족하는 내적공간 $V$의 기저 $B$를 직교기저라 함.

$\forall b_1, b_2\in B, \hspace{0.2cm}\langle b_1, b_2\rangle=0$

정규직교기저(orthonormal basis)

정규기저이자 직교기저인 내적공간의 기저를 정교직교기저라고 함.

특히, $R^n$의 정규직교기저인 $\{(1,0,\cdots,0), (0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1)\}$를 표준기저라 함.