물리적 벡터

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본 포스팅은 유튜브 채널 이상엽Math를 참고하였습니다.

벡터와 좌표계

평면벡터

$R^2$ 에서 크기(스칼라)와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구이다.

공간벡터

$R^3$ 에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구이다.

n차원 벡터

$R^n$ 상의 벡터 $\text{v}=(v_1, v_2, v_3, \cdots, v_n)=\overrightarrow{AB}=(b_1-a_1, b_2-a_2, \cdots, b_n-a_n)$

영벡터 $\overrightarrow{0}=\mathbf{0}=(0, 0, \cdots, 0)$
두 벡터 $\text{v}=(v_1, \cdots, v_n), \hspace{0.5cm}\text{w}=(w_1, \cdots, w_n)$ 가 같다. $\Leftrightarrow v_1=w_1, \hspace{0.1cm}\cdots, v_n=w_n$

벡터의 연산

Norm

벡터의 크기(또는 길이)라고도 하며, 수식으로는 $\|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2\hspace{0.1cm}}$
일반적으로 $\text{L}_2$ norm을 의미.
Norm이 1인 벡터를 단위벡터라고 함.
- 정규화 : $\frac{\text{v}}{\|\text{v}\|}$
$e_1=(1,0,\cdots,0),\hspace{0.3cm}e_2=(0,1,\cdots,0)$ 등을 표준단위벡터라고 함.

선형결합

벡터의 덧셈과 뺄셈

$\text{v}\pm\text{w}=(v_1\pm w_1, \cdots, v_n\pm w_n)$

벡터의 실수배

$k\text{v}=(kv_1, kv_2, \cdots, kv_n)$

선형(일차)결합

$R^n$ 의 벡터 $\text{w}$가 임의의 실수 $k_1, k_2, \cdots, k_r$에 대하여 $\text{w}=k_1\text{v}_1+k_2\text{v}_2+\cdots+k_r\text{v}_r$ 의 형태로 쓰여지면, $\text{w}$를 벡터 $\text{v}_1,\cdots,\text{v}_r$ 의 선형(일차)결합이라고 한다.

스칼라 곱

한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해 가한 힘에 의해 변화된 스칼라(크기).

점곱 또는 내적이라고 함(Dot product, Inner product)

$\text{v}\cdot\text{w}=\|\text{v}\|\|\text{w}\|\cos{\theta}=v_1w_1+v_2w_2+\cdots+v_nw_n$

($\theta$ 는 두 벡터 $\text{v}, \text{w}$가 이루는 각)

→ 제2코사인 법칙으로 증명 가능

제2 코사인 법칙에 따라 $\|\text{x}\|=\|\text{v}\|^2+\|\text{w}\|^2-2\|\text{v}\|\|\text{w}\|\cos\theta$ 이고, $\text{x}=\text{w}-\text{v}$ 이므로

$\text{v}\cdot\text{w}=\frac{1}{2}\{\|\text{v}\|^2+\|\text{w}\|^2-\|\text{w}-\text{v}\|^2\}$ 가 되고,

$\frac{1}{2}[(v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2)+(w_1^2+w_2^2+\cdots+w_n^2)-\{(w_1^2-v_1^2)+(w_2^2-v_2^2)+\cdots+(w_n^2-v_n^2)\}]=w_1v_1+w_2v_2+\cdots+w_nv_n$

⚠️ 벡터의 연산 성질

$R^n$ 상의 벡터 $\text{u}, \text{v}, \text{w}$ 와 스칼라 $k, m$ 에 대하여 다음이 성립함.

벡터 곱

방향은 두 벡터에 동시에 수직이고, 크기는 두 벡터의 평행사변형의 면적인 $R^3$(벡터곱은 $R^3$에서만 정의가 됨) 상의 벡터. 가위곱(Cross product)이라고도 함.

$\text{v}\times\text{w}=\bigg(\begin{vmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \\ \end{vmatrix},\hspace{0.2cm} -\begin{vmatrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \\ \end{vmatrix}, \hspace{0.2cm}\begin{vmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \\ \end{vmatrix}\bigg)$

위 식도 determinant구하는 거랑 유사하게 생각하면 됨. 각 위치의 원소 가려주면 됨.

(방향은 오른손 법칙 생각하면 됨. cross product의 앞에 벡터부터 오른손으로 감아쥐었을 때 엄지가 향하는 방향)

ex. $\text{v}=(2,0,0),\hspace{0.3cm}\text{w}=(0,3,0)$ 이면 $\text{v}\times\text{w}=(0,0,6)$

⚠️ 벡터 곱의 성질

$R^3$ 상의 벡터 $\text{u},\text{v},\text{w}$ 와 스칼라 $k$ 에 대해 다음이 성립함.

결합법칙은 적용이 안됨.

→ $(\text{v}\times\text{w})\times\text{w}=\text{u}\times\text{w}$ 하지만 $\text{v}\times(\text{w}\times\text{w})=\overrightarrow{0}$

벡터의 응용

직선의 표현

$R^2$ 또는 $R^3$ 에서 위치벡터(원점을 시작으로 하는 벡터)가 $\text{a}$인 점 $A$ 를 지나며 방향벡터(직선이 늘어나는 방향을 지시하는 벡터)가 $\text{v}$인 직선상의 임의의 점 $X$의 위치벡터 $\text{x}$는

$ \text{x}=\text{a}+k\text{v} $

을 만족한다.(단, $k$는 임의의 실수)

평면의 표현

$R^3$ 에서 위치벡터가 $\text{a}$인 점 $A$ 를 지나며 법선벡터(평면에 수직인 벡터)가 $\text{v}$인 평면상의 임의의 점 $X$의 위치벡터 $\text{x}$는

$ (\text{x}-\text{a})\cdot\text{v}=0 $

을 만족한다.

(법선벡터는 평면상의 서로 다른 두 직선의 방향벡터들의 벡터 곱으로 구하면 쉬움)

Miscellaneous

두 벡터 $\text{u}, \text{v}$ 로 만들어지는 평행사변형을 그려보면

너비가 6이 되고, $\det{\begin{pmatrix}2\hspace{0.2cm}0 \\ 1\hspace{0.2cm}3\end{pmatrix}}$의 값도 6이 된다.

즉, 두 벡터를 나열한 matrix의 determinant의 절대값이 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 너비임을 유추할 수 있다.

더 수학적으로 따져보면, $R^3$ 에서 두 벡터 $\text{u}=(a,b,0)$ 과 $\text{v}=(c,d,0)$ 가 있을 때,

$\text{u}\times\text{v}=\bigg(0,0,\det{\begin{pmatrix}2\hspace{0.2cm}0 \\ 1\hspace{0.2cm}3\end{pmatrix}}\bigg)$ 가 되므로 위의 유추가 참임을 확인할 수 있다.

$R^3$ 에서 세 벡터를 나열해 만든 행렬의 determinant는 세 벡터로 형성되는 평행육면체의 부피가 된다.

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