행렬과 행렬식

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본 포스팅은 유튜브 채널 이상엽Math를 참고하였습니다.

행렬(Matrix)

용어정리

성분 : 행렬의 구성원, 원소(element)
행(row) : 행렬의 가로줄
열(column) : 행렬의 세로줄
$m\times{n}$ 행렬 : m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬 ( $(a_{ij}){m\times{n}}$ 이라고 표현하기도 하고, $(a{ij})$ 도 행렬을 의미 )
주대각선 : 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선.

$\begin{bmatrix} a & b & c \\ c & d & d\\ e & f & g \\ \end{bmatrix}$왼쪽 행렬에서 a, d, g 를 가로지르는 선을 의미.

대각성분 : 줃대각선에 걸치는, 즉 i, j (행, 열)가 같은 성분 (위에서는 a, d, g)
영행렬(0 matrix) : 모든 성분이 0인 행렬$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}$
전치행렬(transpose matrix): $(a_{ij})$ 에 대해 $(a_{ji})$
대칭행렬(symmetric matrix) : $A = A^T$ 인 $A$
정사각행렬(square matrix : 행, 열의 개수 같은 행렬
단위행렬(또는 항등행렬, Identity matrix) : 모든 대각성분 1이고, 그 외의 성분 0 (단위행렬에서 $I_3$ 이라고만 표현해도 행, 열개수가 3인 단위행렬을 의미)

행렬의 연산

$m\times{n}$ 행렬 $A=(a_{ij}), B=(b_{ij})$ 에 대해

덧셈과 뺄셈 : $A\pm{B}=(a_{ij}\pm{}b_{ij})$
상수배 : 상수 c 에 대해서 $cA=(ca_{ij})$
곱셈 : $m\times{n}$ 행렬 $A=(a_{ij})$ 와 $n\times{r}$ 행렬 $B=(b_{jk})$ 에 대해 $AB=(c_{ik}) : m\times{r}$ 행렬이 됨. 단, $c_{ik}=\sum_{j=1}^na_{ij}b_{jk}$

⚠행렬의 곱셈은 교환법칙 성립 안함.

연립일차방정식

행렬의 표현

$\begin{cases} x+2y=5 \\ 2x+3y=8 \end{cases}$ 를 두 가지로 표현 가능

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}$ 표현 ⇒ 가우스 조던 소거법
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 &3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 8\\ \end{pmatrix}$ 표현 ⇒ 역행렬 이용

가우스 조던 소거법

아래 3가지의 기본 행 연산(elementary row operation)을 통해 연립 일차방정식의 augmented matrix를 기약 행 사다리꼴(Reduced Row Echelon Form)으로 바꿔 해를 구한다.

한 행을 상수배
한 행을 상수배하여 다른 행에 더함
두 행을 맞바꿈

가우스 조던 소거법이 손으로 하면 빠른 것처럼 느껴지지 않지만 컴퓨터 알고리즘을 짤 때는 가장 편리하고 명확함.

역행렬 이용

연립일차방정식 $AX=B$ 에서 $A$ 의 역행렬 $A^{-1}$ 가 존재하면, $X=A^{-1}B$ 이다.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 8\\ \end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 5\\ 8\\ \end{pmatrix}$

행렬식(Determinant)

$M_{ij}$ 를 $i, j$ 번째 행과 열을 제외한 나머지 행렬의 determinant라고 한다면, $det(A)=\sum_{i=1}^n(-1)^{1+i}a_{i1}M_{i1}$ 이 성립.

원하는 그 어떤 행이나 열에 이 공식을 적용해도 상관이 없음. 따라서 0이 가장 많은 행 또는 열을 선택하는 것이 계산하기 가장 용이하다.

역행렬

Determinant가 0이면 역행렬이 존재하지 않으며(singular matrix), determinant가 0이 아니면(non-singular matrix) 유일한 inverse matrix를 가진다.

Determinant가 0이 아닌 square matrix $A$ 의 역행렬은

$A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}{\begin{pmatrix}C_{11} & C_{21} & \cdots \\ C_{11} & C_{21} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix}}$

( 단, $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ )

$\text{ex}. \begin{pmatrix} a \hspace{0.1cm}b \\ c \hspace{0.1cm}d \\ \end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d &-b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}$

크래머 공식

연립일차방정식 $AX=B$ 에서 $A$ 의 determinant가 0이 아닌 square matrix 일 때

$x_j=\frac{\det{A_j}}{\det{A}}=\frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & b_{2} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & b_{n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}
}{ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} }$

단, $j=1, \cdots, n$ 이고 $A_j$ 는 $A$ 의 $j$번째 열을 $B$의 원소로 바꾼 행렬이다.

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