행렬과 행렬식

본 포스팅은 유튜브 채널 이상엽Math를 참고하였습니다.

 

행렬(Matrix)

용어정리

• 성분 : 행렬의 구성원, 원소(element)
• 행(row) : 행렬의 가로줄
• 열(column) : 행렬의 세로줄
• $m\times n$ 행렬 : m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬 ( $(a_{ij})m\times n$ 이라고 표현하기도 하고, $(aij)$ 도 행렬을 의미 )
• 주대각선 : 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선.

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ c& d& d\\ e& f& g\end{array}\right]$왼쪽 행렬에서 a, d, g 를 가로지르는 선을 의미.

• 대각성분 : 줃대각선에 걸치는, 즉 i, j (행, 열)가 같은 성분 (위에서는 a, d, g)
• 영행렬(0 matrix) : 모든 성분이 0인 행렬$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$
• 전치행렬(transpose matrix): $(a_{ij})$ 에 대해 $(a_{ji})$
• 대칭행렬(symmetric matrix) : $A=A^T$ 인 $A$
• 정사각행렬(square matrix : 행, 열의 개수 같은 행렬
• 단위행렬(또는 항등행렬, Identity matrix) : 모든 대각성분 1이고, 그 외의 성분 0 (단위행렬에서 $I_3$ 이라고만 표현해도 행, 열개수가 3인 단위행렬을 의미)

행렬의 연산

$m\times n$ 행렬 $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ 에 대해

• 덧셈과 뺄셈 : $A\pm B=(a_{ij}\pm b_{ij})$
• 상수배 : 상수 c 에 대해서 $cA=(c{a}_{ij})$
• 곱셈 : $m\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$ 와 $n\times r$ 행렬 $B=(b_{jk})$ 에 대해 $AB=(c_{ik}):m\times r$ 행렬이 됨. 단, $c_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}$

⚠행렬의 곱셈은 교환법칙 성립 안함.

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연립일차방정식

행렬의 표현

$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 2x+3y=8\end{array}$ 를 두 가지로 표현 가능

1. $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 3& 8\end{array}\right]$ 표현 ⇒ 가우스 조던 소거법
2. $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)$ 표현 ⇒ 역행렬 이용

가우스 조던 소거법

아래 3가지의 기본 행 연산(elementary row operation)을 통해 연립 일차방정식의 augmented matrix를 기약 행 사다리꼴(Reduced Row Echelon Form)으로 바꿔 해를 구한다.

1. 한 행을 상수배
2. 한 행을 상수배하여 다른 행에 더함
3. 두 행을 맞바꿈

가우스 조던 소거법이 손으로 하면 빠른 것처럼 느껴지지 않지만 컴퓨터 알고리즘을 짤 때는 가장 편리하고 명확함.

역행렬 이용

연립일차방정식 $AX=B$ 에서 $A$ 의 역행렬 $A^{-1}$ 가 존재하면, $X=A^{-1}B$ 이다.

 

$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)$

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행렬식(Determinant)

$M_{ij}$ 를 $i,j$ 번째 행과 열을 제외한 나머지 행렬의 determinant라고 한다면, $det(A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{1+i}{a}_{i1}{M}_{i1}$ 이 성립.

원하는 그 어떤 행이나 열에 이 공식을 적용해도 상관이 없음. 따라서 0이 가장 많은 행 또는 열을 선택하는 것이 계산하기 가장 용이하다.

역행렬

Determinant가 0이면 역행렬이 존재하지 않으며(singular matrix), determinant가 0이 아니면(non-singular matrix) 유일한 inverse matrix를 가진다.

Determinant가 0이 아닌 square matrix $A$ 의 역행렬은

$A^{-1}=\frac{1}{detA}\left(\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{21}& \cdots \\ C_{11}& C_{21}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$  

( 단, $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ )  

$\text{ex}.{\left(\begin{array}{c}ab\\ cd\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

크래머 공식

연립일차방정식 $AX=B$ 에서 $A$ 의 determinant가 0이 아닌 square matrix 일 때

$x_j=\frac{det{A}_j}{detA}=\frac{\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & b_1& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & b_2& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & b_n& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2j}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|}$  

단, $j=1,\cdots ,n$ 이고 $A_j$ 는 $A$ 의 $j$번째 열을 $B$의 원소로 바꾼 행렬이다.

 

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