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선형대수학

행렬과 행렬식

행렬과 행렬식
선형대수학

행렬과 행렬식

2023. 1. 19. 17:59
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본 포스팅은 유튜브 채널 이상엽Math를 참고하였습니다.

 

행렬(Matrix)

용어정리

  • 성분 : 행렬의 구성원, 원소(element)
  • 행(row) : 행렬의 가로줄
  • 열(column) : 행렬의 세로줄
  • m×nm×n 행렬 : m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬 ( (aij)m×n(aij)m×n 이라고 표현하기도 하고, (aij)(aij) 도 행렬을 의미 )
  • 주대각선 : 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선.

[abccddefg]왼쪽 행렬에서 a, d, g 를 가로지르는 선을 의미.

  • 대각성분 : 줃대각선에 걸치는, 즉 i, j (행, 열)가 같은 성분 (위에서는 a, d, g)
  • 영행렬(0 matrix) : 모든 성분이 0인 행렬[0000]
  • 전치행렬(transpose matrix): (aij) 에 대해 (aji)
  • 대칭행렬(symmetric matrix) : A=AT 인 A
  • 정사각행렬(square matrix : 행, 열의 개수 같은 행렬
  • 단위행렬(또는 항등행렬, Identity matrix) : 모든 대각성분 1이고, 그 외의 성분 0 (단위행렬에서 I3 이라고만 표현해도 행, 열개수가 3인 단위행렬을 의미)

행렬의 연산

m×n 행렬 A=(aij),B=(bij) 에 대해

  • 덧셈과 뺄셈 : A±B=(aij±bij)
  • 상수배 : 상수 c 에 대해서 cA=(caij)
  • 곱셈 : m×n 행렬 A=(aij) 와 n×r 행렬 B=(bjk) 에 대해 AB=(cik):m×r 행렬이 됨. 단, cik=∑nj=1aijbjk

⚠행렬의 곱셈은 교환법칙 성립 안함.


연립일차방정식

행렬의 표현

{x+2y=52x+3y=8 를 두 가지로 표현 가능

  1. [125238] 표현 ⇒ 가우스 조던 소거법
  2. (1223)(xy)=(58) 표현 ⇒ 역행렬 이용

가우스 조던 소거법

아래 3가지의 기본 행 연산(elementary row operation)을 통해 연립 일차방정식의 augmented matrix를 기약 행 사다리꼴(Reduced Row Echelon Form)으로 바꿔 해를 구한다.

  1. 한 행을 상수배
  2. 한 행을 상수배하여 다른 행에 더함
  3. 두 행을 맞바꿈

가우스 조던 소거법이 손으로 하면 빠른 것처럼 느껴지지 않지만 컴퓨터 알고리즘을 짤 때는 가장 편리하고 명확함.

역행렬 이용

연립일차방정식 AX=B 에서 A 의 역행렬 A−1 가 존재하면, X=A−1B 이다.

 

(1223)(xy)=(58)⇔(xy)=(1223)−1(58)


행렬식(Determinant)

Mij 를 i,j 번째 행과 열을 제외한 나머지 행렬의 determinant라고 한다면, det(A)=∑ni=1(−1)1+iai1Mi1 이 성립.

원하는 그 어떤 행이나 열에 이 공식을 적용해도 상관이 없음. 따라서 0이 가장 많은 행 또는 열을 선택하는 것이 계산하기 가장 용이하다.

역행렬

Determinant가 0이면 역행렬이 존재하지 않으며(singular matrix), determinant가 0이 아니면(non-singular matrix) 유일한 inverse matrix를 가진다.

Determinant가 0이 아닌 square matrix A 의 역행렬은

A−1=1detA(C11C21⋯C11C21⋯⋮⋮⋱)  

( 단, Cij=(−1)i+jMij )  

ex.(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)

크래머 공식

연립일차방정식 AX=B 에서 A 의 determinant가 0이 아닌 square matrix 일 때

xj=detAjdetA=|a11⋯b1⋯a1na21⋯b2⋯a2n⋮⋮⋮an1⋯bn⋯ann||a11⋯a1j⋯a1na21⋯a2j⋯a2n⋮⋮⋮an1⋯anj⋯ann|  

단, j=1,⋯,n 이고 Aj 는 A 의 j번째 열을 B의 원소로 바꾼 행렬이다.

 

/ /문제제기 및 피드백 언제든지 감사히 받겠습니다.

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