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복소벡터공간
복소벡터공간 정의 복소수체 $\mathbb{C}$에 대한 가군, 즉, 적당한 집합 $V$에 대해 벡터공간 $(V,\mathbb{C},+,\,\cdot\,)$을 복소벡터공간이라 한다. 또한, 모든 복소 $n-$튜플 $(v_1,v_2,\cdots,v_n)$의 집합을 복소 $n-$공간이라 하고, $\mathbb{C}^n$ 으로 표시한다. 복소켤레(Complex conjugate) $\mathbb{C}^n$의 임의의 벡터 $$ \begin{align*} \text{v} & =(v_1,v_2,\cdots,v_n)\\ & =(a_1+b_1i,a_2+b_2i,\cdots,a_n+b_ni)\\ & =(a_1,\cdots,a_n)+i(b_1,\cdots,b_n)\\&=\text{Re}(\text{v})+i\,\text{..
대각화
대각화 대각화(Diagonalization) 정의 두 square matrix $A,D$에 대해 방정식 $$ D=X^{-1}AX $$ 를 만족하는 대각행렬 $D$와 가역행렬 $X$가 존재하면, 행렬 $A$는 대각화 가능 행렬이라고 한다. ($A$는 diagonalizable하다) 또한 이 경우 행렬 $X$는 $A$를 대각화한다고 한다.($X$ diagonalizes $A$) 모든 square matrix가 대각화가 가능한 것은 아니며, 행렬 $X$와 $D$가 unique한 것은 아니다. 예제) $A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}$ $X^{-1}=\begin{bmatrix}3&-2\\-1..
CH03. Epipolar Geometry (1)
Introduction 앞선 강까지는 single view metrology나 typical camera calibration을 통해 image로부터 3D world의 property를 유도해내는 과정을 보였었다. 하지만, 일반적으로 하나의 이미지를 이용해서는 3D world의 전체적인 구조를 복구해내기 어렵다. 바로 3D에서 2D로의 mapping의 intrinsic ambiguity 때문이다. (정보가 손실됨) 위의 그림을 보면, 남자가 피사의 사탑을 받치고 있는 것처럼 보인다. 하지만 실제로 남자가 피사의 사탑을 받치고 있는 것이 아니라, 다른 depth를 image plane에 투사시켰기 때문에 생기는 현상이다. 만약 이 scene을 다른 각도에서 볼 수 있다면, 이렇게 착시현상이 아니라 제대로 ..
고윳값과 고유벡터
고윳값과 벡터 정의 체 $F$에 대한 벡터공간 $V$위의 선형사상 $L: V\rightarrow V$에 대해 다음 두 조건 $v\neq\overrightarrow{0}$ $L(v)=\lambda v$ 를 만족하는 $\lambda \in F$와 $v\in V$ 를 각각 고윳값과 고유벡터라고 한다. (그래도 영어가 편하니까 고윳값은 eigenvalue, 고유벡터는 eigenvector로 표현) 행렬로 생각해보면, 고유방정식 영어로 characteristic equation이라고 부른다. $n\times n$ 행렬 $A$에 대해 $\lambda$가 $A$의 eigenvalue이기 위한 필요충분조건은 다음 방정식 $$ \det(A-\lambda I)=0 $$ 을 만족하는 것이다. (why? $Av=\lambda..
CH02. Single View Metrology (2)
Vanishing Points and Lines 지금까지는 2D 에서 무한대에서의 직선과 점을 다뤘다면 이제 이를 3D 에도 적용시켜본다. 3D에서는 평면의 개념을 도입해야한다. 평면을 vector로 $\begin{bmatrix}a & b & c & d\end{bmatrix}^T$로 표현 가능하고, 여기서 $(a,b,c)$는 법선벡터(normal vector)를 의미하며 $d$는 법선벡터 방향으로 원점에서 평면까지의 거리이다. Formal하게 평면을 정의해보면 다음과 같다. $$ x^T\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}=ax_1+bx_2+cx_3+d=0 $$ 3D 에서 직선이란 두 평면의 intersection으로써 정의된다. 자유도가 4이기 때문에(? 모르겠다), 3D..